信号处理基础信息¶

本章深入说明了多个锁相放大器的原理，这些原理不一定与瑞士苏黎世仪器的特定仪器相关。自 20 世纪 30 年代首个阀基锁相放大器诞生以来，虽然锁相放大器的物理学特性没有改变，但是其实施方法和性能都有了很大发展。在过去几十年间，许多关于锁相放大器的优秀初级读物相继面世，其中一些针对的是模拟仪器，因此现在似乎已经过时了。本节的用意并不是取代任何已有的初级读物，而是希望以数字锁相放大器为重点来予以补充。

第一小节介绍的是锁相放大的原理，接着将介绍离散时间滤波器的功能。之后，我们将讨论满量程灵敏度的定义，这个规格参数对模拟锁相放大器特别重要，但对数字仪器的影响则没那么大。随后，我们还将介绍正弦滤波，尤其是其在低频锁相测量中的功能和用法。最后一节将主要介绍选带傅里叶变换功能。凭借锁相放大器的创新，选带傅里叶变换可围绕锁相操作频率提供快速、高分辨率的频谱分析。

锁相检测技术的原理¶

锁相解调技术旨在通过比较信号与参考信号来测量具有频率 \(\omega_s = 2\pi f_s\) 的周期性信号的幅值 \(A_s\) 和相位 \(\theta\)。该技术也称为相敏检测。通过随时间进行平均化处理，信号的信噪比 (SNR) 可提高多个数量级，从而能够以高精度检测非常小的信号，使锁相放大器成为常用的信号恢复工具。无论是信号恢复还是相敏检测，都可通过窄带通滤波分离出期望信号，从而降低测量信号中噪声的影响。

Figure 1 所示为基本的测量装置：参考 \(V_r\) 信号馈送到被测设备。一般非线性设备会对参考信号进行衰减、放大、相移和失真处理，从而产生信号 \(V_s = A_s cos(\omega_s t + \theta_s)\) 外加谐波分量。

Figure 1: 包含锁相放大器的基本测量装置

出于实践方面的原因，大多数锁相放大器均使用混频器和低通滤波器来实施带通滤波器功能（参见 Figure 2）：混频器将期望信号转移到基带（理想情况下转换到 DC），而低通滤波器则切断所有不需要的高频。

Figure 2: 锁相放大器执行的混频和低通滤波功能

输入信号 \(V_s(t)\) 乘以参考信号 \(V_r(t) = \sqrt{2}e\^{-i\omega_r t}\)，其中 \(\omega_r = 2\pi f_r\) 为解调频率，i 为虚数单位。这是构成正交解调器分量的正弦和余弦信号（相移 90°）的复数表示方法，能够测量期望信号的幅值和相位。原则上，期望信号可以乘以任何频率，得出外差运算。但是锁相放大器的目标是使信号尽可能靠近 DC，因此会选择相似的参考频率和信号频率。各读物中将这称为零差检测、同步检测或零中频直接转换。

相乘后得出信号

\[ \begin{equation}\tag{1} V_s(t)\cdot V_r(t) = V_s(t\cdot \sqrt{2}e^{-i\omega_rt}= \frac{A_s}{\sqrt{2}}e^{i[(\omega_s-\omega_r)t+\theta]} + \frac{A_s}{\sqrt{2}}e^{-i[(\omega_s+\omega_r)t+\theta]} \end{equation} \]

这包括一个慢速分量（频率为 \(\omega_s - \omega_r\)）和一个快速分量（频率为 \(\omega_s + \omega_r\)）。

已解调信号使用无限冲击响应 (IIR) RC 滤波器进行低通滤波，以符号 \(\langle \cdot \rangle\) 表示。滤波器 \(F(\omega)\) 的频率响应将允许通过低频 \(F(\omega_s - \omega_r)\) ，同时大大衰减更高频 \(F(\omega_s + \omega_r)\)。另一种方法是将低通滤波器作为平均器。

\[ \begin{equation}\tag{2} X+iY = \langle V_s(t)\cdot\sqrt{2}e^{-i\omega_r t}\rangle \approx F(\omega_s-\omega_r)\frac{A_s}{\sqrt{2}}e^{i[(\omega_s-\omega_r)t+\theta]} \end{equation} \]

低通滤波器处理后得到已解调信号 \(X+iY\)，其中 X 是实部，Y 是复平面上描绘的信号的虚部。这些分量也称为同相和正交分量。X 和 Y 到幅值 R 的转换以及 \(V_s(t)\) 的相位 \(\theta\) 信息可用三角函数运算来得出。

值得注意的是，测量信号的值对应于信号的 RMS 值，也就是 \(R = A_s/\sqrt{2}\)。

当辅助输出信号范围为 -10 V 到 +10 V 时，大部分锁相放大器输出编码值 (X,Y) 和 (R, \(\theta\))。

锁相放大器应用¶

锁相放大器应用范围非常广泛。在某些情况下，目标是测量具有良好信噪比的信号，这样，即使使用较大的滤波器设置也可以测得该信号。这种情况可以称为相敏检测。在另一些应用中，信号非常弱以致被噪声盖住，必须使用非常窄的滤波器进行测量。这种情况下，可以使用锁相放大器来恢复信号。还有一种情况是，在极高频率（GHz 或 THz）上调制的信号无法采用标准方法测量，因此混频到适合锁相放大器测量频带的较低频率。

例如，测量完全淹没在 1/f 噪声、电源线噪声和缓慢漂移中的平稳或缓慢变化的微弱信号。在这种情况下，可将微弱信号调制到较高频率，远离这些噪声源。此类信号可高效混频回来，并使用锁相放大器在基带中进行测量。Figure 3 所示即为此过程。许多光学应用都采用斩波器、电光调制器或声光调制器进行上混。这种方法的优点是，能够在噪声相对较小的光谱区测量所需信号，并且比直接对 DC 信号进行低通滤波要更加高效。

Figure 3: 含噪声的 DC 信号的锁相测量

信号带宽¶

信号带宽 (BW) 理论上对应信号中期望的最高频率分量。但在实际信号中，带宽通常由截止频率来量化。在这个频率下，系统的传递函数相对于 DC 显示 3 dB 的衰减（带宽 = f_cut-off \= f_-3dB）；也就是说，f_-3dB 下的信号功率是 DC 下信号功率的一半。带宽等于截止频率，用于信号的动态行为或不同信号的分离。例如快速变化的幅值，或者锁相环或成像应用中的相位值，或者频率间隔很小的信号需要分离。

噪声等效功率带宽 (NEPBW) 不同于信号带宽，但也是非常有用的数值。该单位通常用于噪声测量：在这种情况下，用户关注的是通过低通滤波器滤波的总功率，等于 Figure 4 中实曲线下方的面积。出于实际原因，用户会定义一个理想砖墙式滤波器，假设噪声呈现平谱（白噪声）频谱密度，让等量的功率通过。该砖墙式滤波器的传输 1 从 DC 传输到 f_NEPBW。Figure 4 中橙色和蓝色区域的面积在线性标度中完全相等。

Figure 4: 信号带宽和噪声等效功率带宽

f_cut-off 和 f_NEPBW 之间可以建立简单的关系，仅取决于滤波器斜率（或滚降），而由于滤波器斜率实际上取决于为滤波器定义的时间常数 (TC)，因此也可以建立与时间常数的关系。可以很直观地看出，滤波器阶数越高，f_cut-off就越接近 f_NEPBW。

时间常数是一个参数，用于在时域中解析滤波器响应，并且与达到最终值的定义百分比所需的时间相关。低通滤波器的时间常数与带宽的关系公式为

\[ \begin{equation}\tag{3} TC=\frac{FO}{2\pi f_{cut-off}} \end{equation} \]

其中 FO 是上述取决于滤波器斜率的因子。该因子和不同滤波器参数之间的其他实用转换因子可参见下表。

Table 1: 带宽定义中的转换因子汇总
滤波器阶数	滤波器滚降	FO	f_cut-off	f_NEPBW	f_NEPBW / f_cut-off
1 阶	6 dB/oct	1.0000	0.1592 / TC	0.2500 / TC	1.5708
2 阶	12 dB/oct	0.6436	0.1024 / TC	0.1250 / TC	1.2203
3 阶	18 dB/oct	0.5098	0.0811 / TC	0.0937 / TC	1.1554
4 阶	24 dB/oct	0.4350	0.0692 / TC	0.0781 / TC	1.1285
5 阶	30 dB/oct	0.3856	0.0614 / TC	0.0684 / TC	1.1138
6 阶	36 dB/oct	0.3499	0.0557 / TC	0.0615 / TC	1.1046
7 阶	42 dB/oct	0.3226	0.0513 / TC	0.0564 / TC	1.0983
8 阶	48 dB/oct	0.3008	0.0479 / TC	0.0524 / TC	1.0937

离散时间滤波器¶

离散时间 RC 滤波器¶

实施数字低通滤波器的方法很多。一种常见滤波器类型是指数运行均值滤波器。这款滤波器的各项特性都非常接近模拟电阻-电容 RC 滤波器，因此有时被称为离散时间 RC 滤波器。指数运行均值滤波器的唯一可调参数就是时间常数 \(TC = \tau_N\)。它对输入信号 \(X_{in}\lbrack n, \rbrack\) 进行运算，该信号由离散时间 \(n T_s、(n+1)T_s、(n+2)T_s\) 等定义，并按采样时间 \(T_s\) 间隔排列。它的输出 \(X_{out}\lbrack n,T_s\rbrack\) 可使用以下递推公式计算得出，

\[ \begin{equation}\tag{4} X_{out}[n,T_s]=e^{-T_s/\tau_n}X_{out}[n-1,T_s]+(1-e^{-T_s/\tau_N})X_{in}[n,T_s] \end{equation} \]

该滤波器在频域的响应可以用以下公式近似表示

\[ \begin{equation}\tag{5} H_1(\omega)=\frac{1}{1+i\cdot\omega\cdot\tau_n} \end{equation} \]

指数滤波器是一阶滤波器。通过级联多个滤波器，即可轻松获得更高阶的滤波器。例如，通过逐一链接 4 个具有相同时间常数 \(TC = \tau_n\) 的滤波器，使一个滤波级的输出成为下一个滤波级的输入，即可获得 4 阶滤波器。这种级联滤波器的传递函数是单个滤波级的传递函数的乘积。对于 N 阶滤波器，我们得出以下公式

\[ \begin{equation}\tag{6} H_n(\omega)=\frac{1}{(1+i\cdot\omega\cdot\tau_n)^n} \end{equation} \]

滤波器的衰减和相移都可通过此公式计算得出。也就是说，滤波器衰减由绝对值的平方 \(\|H_n(\omega)\|\^2\) 得出。滤波器的传输相位由复自变数 \(arg\lbrack H_n(\omega)\rbrack\) 得出。

滤波器稳定时间¶

低通滤波器在解调器之后，会导致测量信号的延迟，具体取决于滤波器阶数和时间常数 \(TC = \tau_n\)。信号发生变化后，锁相输出需要一段时间才能达到正确的测量值。Figure 5 所示为级联滤波器对阶跃输入信号的响应。

Figure 5: 1 到 8 阶解调器低通滤波器的时域阶跃响应。

有关稳定时间的更多定量信息，请参见 Table 2。此表包括 MFLI 锁相放大器可用的所有滤波器阶数的稳定时间（单位为 1 阶滤波器时间常数 (\(TC\))）。这些数值表示滤波后的解调器信号达到最终值的 50%、63%、95% 和 99% 所需的时间。这有助于从定量角度正确选择滤波器参数（例如在涉及参数扫描的测量中）。

Table 2: 滤波器稳定时间汇总
滤波器阶数	50%	63% (1-1/e)	90%	95%	99%
1 阶	0.7 · TC	1.0 · TC	2.3 · TC	3.0 · TC	4.6 · TC
2 阶	1.7 · TC	2.1 · TC	3.9 · TC	4.7 · TC	6.6 · TC
3 阶	2.7 · TC	3.3 · TC	5.3 · TC	6.3 · TC	8.4 · TC
4 阶	3.7 · TC	4.4 · TC	6.7 · TC	7.8 · TC	10.0 · TC
5 阶	4.7 · TC	5.4 · TC	8.0 · TC	9.2 · TC	11.6 · TC
6 阶	5.7 · TC	6.5 · TC	9.3 · TC	10.5 · TC	13.1 · TC
7 阶	6.7 · TC	7.6 · TC	10.5 · TC	11.8 · TC	14.6 · TC
8 阶	7.7 · TC	8.6 · TC	11.8 · TC	13.1 · TC	16.0 · TC

满量程灵敏度¶

锁相放大器的灵敏度是已解调正弦输入信号的 RMS 值，产生满量程模拟输出。传统上，X、Y 或 R 分量会映射到 10 V 满量程模拟输出。在这种情况下，锁相放大器从输入到输出的总增益由输入和输出放大器级组成。许多锁相放大器指定的灵敏度在 1 nV 至 1 V 之间。也就是说，仪器允许将 1 nV 至 1 V 之间的输入信号放大至 10 V 满量程输出。

Figure 6: 从信号输入到信号输出的灵敏度

模拟锁相放大器的灵敏度很好理解，就是仪器（特别是输入放大器和输出放大器）的输入和输出之间的模拟放大级之和。

数字锁相放大器的灵敏度则不那么容易理解。模数转换器 (ADC) 以固定的输入量程（例如 1 V）运行，因此需要可变增益放大器将输入信号放大到 ADC 给定的范围。该可变增益放大器必须在模拟域，其能力决定了仪器的最小输入量程。在实际中，模拟输入放大器能够放大 1000 倍，因此 1 V 除以 1000 就得到仪器的最小输入量程。

该输入量程是给定范围设置允许的最大信号幅值。该信号在内部以合适的因子（例如 1000 (1 mV)）放大，从而在 ADC 中产生全摆幅信号。该范围之外的信号会因为 ADC 饱和而失真，测量结果也无效。因此，信号不得超出范围设置。

但是，输入量程与灵敏度不一样。在数字锁相放大器中，灵敏度仅取决于输出放大器——这是一个全数字信号处理单元，执行解调器输出与缩放系数的数乘。然后，该单元的数字输出被馈送到固定范围为 10 V 的输出数模转换器 (DAC)。这个缩放系数可以根据模拟锁相放大器已知的灵敏度进行修改。对于数字放大而言，提高缩放系数（由此也提高灵敏度）的成本相对较低。

数字锁相放大器有趣的一点是输入分辨率和灵敏度之间的关系。由于 ADC 以有限分辨率（例如 14 位）运行，因此可检测和数字化的最小信号（例如 1 mV）要除以 ADC 的分辨率。以 14 位为例，可以数字化的最低电平为 122 nV。如何在不使用 21 位模数转换器的情况下达到 1 nV 灵敏度？零噪声的世界是不存在的。相反，正是因为有了噪声和当前的数字技术，才能实现比 1 nV 还低的灵敏度。

大多数宽带噪声源（包括输入放大器）均可视为高斯噪声源。高斯噪声均匀分布在信号中，因此产生均匀分布的干扰。噪声经锁相放大器滤波后可达到不影响测量的水平。但是，在与信号相互作用时，噪声确实会对测量产生影响。ADC 的输入等于噪声和信号幅值的总和。较大噪声上的信号幅值，即使是非常小的信号（不超过 1 nV），也能不时切换最低有效位。产生的数字信号在信号频率上具有一个分量，可被锁相放大器检测到。

生物学上也有类似的例子。人眼视杆细胞让人类能够在光线很暗的条件下看见东西。人眼视杆细胞可以达到低至单光子的灵敏度。之所以能实现这种灵敏度，是通过在低光条件下对细胞进行某种预充电，使其对触发细胞启动脉冲的单光子敏感。在环境光更多的条件下，视杆细胞则不太敏感，需要更多光子来启动。

总之，在数字锁相放大器中，满量程灵敏度仅取决于数字输出放大器的缩放系数能力。由于缩放比例可以任意大，1 nV 最小满量程灵敏度是完全可以实现的。此外，数字锁相放大器利用输入噪声来大幅提高灵敏度，而不影响测量的精度。

正弦滤波¶

如锁相检测技术的原理所述，理想锁相放大器中的解调信号在 DC 上具有一个信号分量，并在两倍的解调频率上具有一个寄生分量。两倍的解调频率上的寄生分量（称为 2ω 分量）可通过常规低通滤波来有效去除。通过选择带宽小、滚降更快的滤波器，可轻松将 2ω 分量衰减至少 100 dB。问题出现在较低的解调频率上，因为这迫使用户选择较长的积分时间（例如，当解调频率为 20 Hz 时，积分时间 > 60 ms），才能实现同水平的 2ω 衰减。

在实践中，锁相放大器将利用解调频率来调制信号输入的 DC 偏移量和非线性，产生解调频率的信号（称为 ω 分量）。该分量也可在高于 1 kHz 的频率下通过常规低通滤波器有效去除。

在较低的解调频率下，特别是在解调频率接近滤波器带宽的应用中，ω 和 2ω 分量均会影响测量结果。正弦滤波能够实现 ω 和 2ω 分量的强衰减。从技术上讲，正弦滤波器是一种梳状滤波器，换级触点为解调频率的整数倍数（ω、2ω、3ω 等），能以约 80 dB 的抑制因子去除 ω 分量。2ω 分量可以全部去除（例如 80 dB），也可以少量去除（例如 5 dB），具体取决于输入信号。这种变化与正弦滤波器的性能无关，而是取决于输入信号的带宽。

Figure 7: 正弦滤波的效果

Table 3: 解调信号的假像
输入信号	低通滤波器处理前的解调结果	结果
ω 上的信号	DC 分量	幅值和相位信息（期望信号）
ω 上的信号		2ω 分量	不需要的分量（可通过正弦滤波器额外进行衰减）
DC 偏移	ω 分量	不需要的分量（可通过正弦滤波器额外进行衰减）

可以使用 MFLI 锁相放大器的频谱分析仪工具来观察正弦滤波器的效果。例如，假设有一个幅值为 0.1 V 的 30 Hz 信号，该信号使用 100 Hz 的滤波器带宽和 8 阶滤波器进行解调。信号中还增加了 0.1 V 的偏移量，这样就得到一个很明显的 ω 分量。

Figure 8 所示为已禁用正弦滤波器的频谱，而 Figure 9 所示为已启用正弦滤波器的频谱。对比两图，可清楚地看到正弦滤波器选件如何将 ω 和 2ω 分量衰减大约 100 dB。

注释

为将数字滤波器的换级触点设为 &omega 和 2&omega，滤波器采样率必须根据信号频率精确调整。由于这在技术上并不可行，因此只对所产生的信号频率进行微小的调整。

选带傅里叶变换¶

通过选带傅里叶变换这一概念，用户可通过放大频谱的窄频带部分来分析特定频率附近的输入信号频谱。具体方法是对解调的同相和正交（X 和 Y）分量进行傅里叶变换，更准确地说，是对复量 X+iY 进行傅里叶变换，其中 i 是虚数单位。在 LabOne 用户界面中，这一功能位于“Spectrum”（频谱）选项卡。

在一般的快速傅里叶变换中，采样率决定频率范围，总采集时间决定频率分辨率。如果要同时具有大范围和高分辨率，则需要在高采样率下进行长时间采集。这意味着需要采集、存储和处理大量数据，只为保留一小部分频谱，其余大部分都将被丢弃。在选带傅里叶变换中，使用锁相解调来降低信号频率偏移，使用户能够以更低的采样率和采样数量来实现同样的频率分辨率。通常，为在 1 MHz 的频率下实现 1 Hz 的频率分辨率，傅里叶变换需要收集和处理大约 10⁶ 个点，而选带傅里叶变换只需要处理 10³ 个点。（当然，高速率采样是在解调阶段通过锁相来完成的，因此选带傅里叶变换仍需要隐式依赖于快速 ADC。）

为说明其原因以及这一测量工具能给用户带来的优势，此处必须提醒用户，在输入信号 \(V_s(t)=A_s cos(\omega_s t+\tau)\) 解调结束时，输出信号为 \(X+iY=F(\omega_s-\omega_r)(A_s/\sqrt{2})e\^{i\lbrack (\omega_s-\omega_r)t + \tau\rbrack}\)，其中 F(ω) 是滤波器的频率响应。

由于解调信号在频率 ω_s–ω_r 上只有一个分量，因此其功率频谱（傅里叶变换模平方）在 ω_s–ω_r 达到峰值 \((\|A_s\|\^2/2)\cdot\|F(\omega_s-\omega_r)\|\^2\)：指示在滤波器 F(ω) 设定的解调带宽内输入信号在频率接近 ω_r 时的频谱功率分布。

注意：

只有在对 X+iY 进行傅里叶变换时，区分正负频率的功能才起作用。如果以 X 为例，其功率频谱的正负频率将相等。实函数 g(t) 的傅里叶变换 G(ω) 存在对称关系 G(–ω)=G*(ω)，并且两个峰值相同，均出现在 ±|ω_s–ω_r|。
可以将功率频谱除以 |F(ω)|² 来提取输入信号的幅值，但这种运算受数值精度的限制。该运算在 LabOne 中实施，由“Filter Compensation”（滤波器补偿）按钮激活：启用“Filter Compensation”（滤波器补偿）后，背景噪声显示为白色；如果不启用该功能，则滤波器滚降的影响会变得明显。

输入信号包含单个频率分量的情况可泛化到多个频率的情况。在这种情况下，功率频谱将显示滤波器传递函数加权的所有频率分量，如果启用了“Filter Compensation”（滤波器补偿）后，功率频谱将进行归一化处理。

对于离散时间信号处理，当高于采样率 ω 的信号频率未得到充分抑制时，应小心出现混叠。需要牢记的是，ω 是用户可设置的读取速率，而不是 GHFLI 输入的 2 GSa/s 采样率。由于离散时间傅里叶变换的延伸范围是 –ω/2 到 +ω/2，用户必须确保在 ±ω/2 时滤波器提供所需的衰减：可通过提高采样率或解算以测量更小的频谱（即更小的滤波器带宽）来实现。

与此类似的是连续的情况，其采集时间决定了最大频率分辨率（如果 T 是采集时间，则为 \(2 \pi/T\)），可通过增加记录的数据点的数量来提高选带傅里叶变换的分辨率。如果以采样率 ω 收集了 N 个数据点，则离散傅里叶变换的频率分辨率为 ω/N。